Question

如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過(guò)A點(diǎn)的切線交DC的延長(zhǎng)線于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求證：BE=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專(zhuān)題：立體幾何

分析：（Ⅰ）由切割線定理得PA²=PC•PD，從而PD=4，再由已知條件推導(dǎo)出△PAC∽△CBA，由此能求出AC．
（Ⅱ）由相交弦定理得CE•ED=BE•EF，從而求出EF=

2

，由此得到EF=BE．

解答： （Ⅰ）解：∵PA是切線，PCD是割線，
∴PA²=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，
又∵PC=ED=1，∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，∴

PC

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=PC•AB=2，∴AC=

2

．
（Ⅱ）證明：∵BE=AC=

2

，CE=2，
由相交弦定理，得：CE•ED=BE•EF，
∴EF=

2•1

2

=

2

，
∴EF=BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查兩線段相等的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相交弦定理和切割線定理的合理運(yùn)用．