Question

如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點, M、N分別是AE、的中點,

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱錐P－DEN的體積。

Answer 1

法一：（Ⅰ）證明：取的中點，連結(jié)

       ∵分別為的中點

       ∵

       ∴

     ∴  ∴

（Ⅱ）設(shè)為的中點

∵為的中點   ∴   ∴

作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，從而

在中，

故：二面角的大小為

（Ⅲ）

作，交，由得

∴

∴在中，

∴

解法二：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則

      

∵分別是的中點

∴

（Ⅰ）

       取，顯然

        ，∴

又  ∴

（Ⅱ）過作，交于，取的中點，則∵

設(shè)，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（Ⅲ）設(shè)為平面的法向量，則

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴點到平面的距離為

    ∵，  

     ∴

     ∴