Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域為[0，+∞）．
（1）判斷此函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷此函數(shù)在[ ，+∞）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；
（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域為[0，+∞），得a＞0且 ，

解得ac=4．

∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，從而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），

∴此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)

（2）解：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[ ，+∞）．設(shè)x1、x2是滿足 的任意兩個數(shù)，從而有 ，∴ ．又a＞0，∴ ，

從而 ，

即 ，從而f（x2）＞f（x1），∴函數(shù)在[ ，+∞）上是單調(diào)遞增

（3）解：f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0， ，x∈[1，+∞）

當(dāng) ，即0＜a≤2時，最小值g（a）=f（x0）=0

當(dāng) ，即a＞2時，最小值

綜上，最小值

當(dāng)0＜a≤2時，最小值g（a）=0

當(dāng)a＞2時，最小值

綜上y=g（a）的值域為[0，+∞）

【解析】（1）由二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判斷f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．（2）求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．設(shè)x1、x2是滿足 的任意兩個數(shù)，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判斷函數(shù)是單調(diào)遞增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，當(dāng) ，即0＜a≤2時，當(dāng) ，即a＞2時求出最小值即可．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減即可以解答此題．