Question

如圖，在x軸上方有一段曲線弧Γ，其端點A、B在x軸上（但不屬于Γ），對Γ上任一點P及點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），滿足：．直線AP，BP分別交直線l：x=2于R，T兩點．
（1）求曲線弧Γ的方程；
（2）設(shè)R，T兩點的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，求證：y₁y₂=-1；
（3）求|RT|的最小值．

Answer 1

解：（1）由橢圓的定義，曲線Γ是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的半橢圓，．（2分）
∴Γ的方程為．（4分）
（注：不寫區(qū)間“y＞0”扣1分）
（2）解法1：由（1）知，曲線Γ的方程為，設(shè)P（x₀，y₀），
則有x₀²+2y₀²=2，即①（6分）
又，，從而直線AP，BP的方程為
AP：；BP：．（7分）
令x=2得R，T的縱坐標(biāo)分別為；．
∴②（9分）
將①代入②，得y₁y₂=-1．（10分）
解法2：設(shè)P（m，n），R（2，y₁），T（2，y₂），則由A，P，R三點共線，得①
同理，由B，P，T三點共線得：②（6分）
由①×②得：．（8分）
由，代入上式，
即y₁y₂=-1．（10分）
（3）由（2）得：
當(dāng)且僅當(dāng)|y₁|=|y₂|，即y₁=-y₂時，取等號．（13分）
即|RT|的最小值是2．（14分）
分析：（1）由橢圓的定義，曲線Γ是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的半橢圓，由此能求出Γ的方程．
（2）解法1：由曲線Γ的方程為，設(shè)P（x₀，y₀，知x₀²+2y₀²=2，．由，，知AP：；BP：．由此能證明y₁y₂=-1．
解法2：設(shè)P（m，n），R（2，y₁），T（2，y₂），則由A，P，R三點共線，得．同理，由B，P，T三點共線得：．所以．由此能證明y₁y₂=-1．
（3）由，知|RT|的最小值是2．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．