Question

（2013•唐山一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．
極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．己知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為p=4cosθ曲線C₂的參數(shù)方程是

x=m+tcosa y=tsina

（t為參數(shù)，0≤a＜π），射線θ=?，θ=?+

π

4

，θ=?-

π

4

與曲線C₁交于極點O外的三點A，B，C．
（I ）求證：|OB|+|OC|=

2

|OA|；
（II ）當(dāng)?=

π

12

時，B，C兩點在曲線C₂上，求m與a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+

π

4

），|OC|=4cos（φ-

π

4

），利用三角恒等變換化簡|OB|+|OC|為4

2

cosφ，=

2

|OA|，命題得證．
（Ⅱ）當(dāng)φ=

π

12

時，B，C兩點的極坐標(biāo)分別為（2，

π

3

），（2

3

，-

π

6

）．再把它們化為直角坐標(biāo)，根據(jù)C₂是經(jīng)過點（m，0），傾斜角為α的直線，又經(jīng)過點B，C的直線方程為y=-

3

（x-2），由此可得m及直線的斜率，從而求得α的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+

π

4

），|OC|=4cos（φ-

π

4

），…（2分）
則|OB|+|OC|=4cos（φ+

π

4

）+4cos（φ-

π

4

）=2

2

（cosφ-sinφ）+2

2

（cosφ+sinφ）=4

2

cosφ，
=

2

|OA|．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)φ=

π

12

時，B，C兩點的極坐標(biāo)分別為（2，

π

3

），（2

3

，-

π

6

）．
化為直角坐標(biāo)為B（1，

3

），C（3，-

3

）．…（7分）
C₂是經(jīng)過點（m，0），傾斜角為α的直線，
又經(jīng)過點B，C的直線方程為y=-

3

（x-2），故直線的斜率為-

3

，…（9分）
所以m=2，α=

2π

3

．…（10分）

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，直線的傾斜角和斜率，屬于基礎(chǔ)題．