Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為12，且關(guān)于x的不等式的解集為區(qū)間

①求函數(shù)的解析式；

②若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）

【解析】

試題（1）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵是對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)”二次，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法，一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)值符合四個(gè)方面分析；（3）二次函數(shù)的綜合問題應(yīng)用多涉及單調(diào)性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價(jià)轉(zhuǎn)化，多用到數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想

試題解析：解：（1）依題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax（x-5）且a>0，則

∴f（x）=ax（x-5）=a（x-2．5）2-6．25a

又∵f（x）在[-1,4]上的最大值為12

∴6a="12" a=2

∴

（2）解法一：設(shè)t=1-，則0≤t≤2

∴f（2-2cosx）<f（1--m）

2·2t·（2t-5）<2·（t-m）·（t-m-5）

（3t-m-5）（t+m）<0

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為

解法二：因?yàn)?/span>f（x）的對(duì)稱軸為且其圖象開口向上

所以f（2-2cosx）<f（1--m）等價(jià)于

|2-2cosx-|<|1--m-| 即|2cosx+|<|+m+|

令即|2t-|<|t+m|

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為．