Question

（本小題滿分12分）

三棱錐中，，,

（1） 求證：面面

（2） 求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，PO，通過(guò)△POA≌△POB≌△POC，得到∠POA=∠POB=∠POC=90°，推出PO⊥面BCD，∴面PBC⊥面ABC。

（2）cos(n₁, n₂)==。

【解析】

試題分析：（1） 證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，PO，由已知△BAC為直角三角形，

所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，

則△POA≌△POB≌△POC    2分

∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O

所以PO⊥面BCD，           4分

面ABC，∴面PBC⊥面ABC   5分

（2） 解：過(guò)O作OD與BC垂直，交AC于D點(diǎn)，

如圖建立坐標(biāo)系O—xyz

則，，，，

   7分

設(shè)面PAB的法向量為n₁=(x,y,z)，由n₁· =0，n₁·=0,可知n₁=(1,-,1)

同理可求得面PAC的法向量為n₁=(3,,1)      10分

cos(n₁, n₂)==         12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，（2）小題，應(yīng)用空間向量，使問(wèn)題解答得以簡(jiǎn)化。