Question

12．已知橢圓C：x²+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1，過C任意一點M作與直線l₀：x+y-6=0夾角為30°的直線l，l交l₀于點P，則|MP|的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用曲線C的參數(shù)方程求出點P到直線l的距離d，計算|MP|=$\fracb4aqbhl{si{n30}^{°}}$，利用直線和橢圓相切的條件進行求解即可．

解答 解：∵過C任意一點M作與直線l₀：x+y-6=0夾角為30°的直線l，l交l₀于點P，
∴|MP|=$\fracav8ha64{si{n30}^{°}}$=2d，
即要使|MP|最小，則只需要M到直線x+y-6=0的距離最小即可，
設與x+y-6=0平行且與橢圓相切的直線為x+y+c=0，
即x=-（y+c），代入x²+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1得（y+c）²+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1，
整理得$\frac{16}{15}$y²+2cy+c²-1=0，
由判別式△=0得△=4c²-4×$\frac{16}{15}$（c²-1）=0．
即c²=16，得c=±4，
即切線為x+y+4=0（舍）或x+y-4=0，
則x+y-4=0到x+y-6=0的距離d=$\frac{|-4+6|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即d=$\sqrt{2}$，
則|MP|的最小值為|MP|=2d=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系的應用，利用直線和橢圓相切以及平行直線的距離公式是解決本題的關鍵．