已知函數(shù)f(x)=4x+a•2x+1+4
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若關于x的方程f(x)=0有兩個大于0的實根,求a的取值范圍;
(3)當x∈[1,2]時,求函數(shù)f(x)的最小值.
解:(1)設t=2
x>0,則y=g(t)=t
2+2at+4,
當a=1時,y=t
2+2t+4=(t+1)
2+3,對稱軸為t=-1,開口向上.
∴g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(t)>g(0)=4.
∴函數(shù)f(x)值域為(4,+∞).
(2)由x>0得t>1.
∴方程f(x)=0有兩個大于0的實根等價于方程g(t)=t
2+2at+4=0有兩個大于1的實根,
則需
解得
,
∴
.
(3)由x∈[1,2]得t∈[2,4],g(t)=(t+a)
2+4-a
2.
①當-a≥4,即a≤-4時,g(t)在[2,4]上單調(diào)遞減,
∴g(t)
min=g(4)=20+8a;
②當2<-a<4,-4<a<-2時,
;
③當-a≤2即a≥-2時,g(t)在[2,4]上單調(diào)遞增,
∴g(t)
min=g(2)=8+4a.
分析:(1)設t=2
x>0,則y=g(t)=t
2+2at+4,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(t)(t>0)的值域即可;
(2)由x>0得t>1,方程f(x)=0有兩個大于0的實根?方程g(t)=t
2+2at+4=0有兩個大于1的實根,求出即可;
(3)由x∈[1,2]得t∈[2,4],而g(t)=(t+a)
2+4-a
2,因此需要對-a與2、4的大小關系進行分類討論即可.
點評:利用換元法和對所給的區(qū)間與二次函數(shù)的頂點的橫坐標的關系分類討論其單調(diào)性是解決問題的關鍵.