已知函數(shù)f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=log2(a•2x-
43
a)，其中a＞0．若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．由偶函數(shù)的定義，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程log2（4x+1）-x=log2(a•2x-
4
3
a)在（log2
4
3
，+∞）有且只有一解，即方程
4x+1
2x
=a•2x-
4
3
a在(log2
4
3
，+∞)上只有一解，利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，分類(lèi)討論后，即可得到a的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)
∴f（-x）=log2（4-x+1）-kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立
即log2（4x+1）-2x-kx=log2（4x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴函數(shù)g(x)=log2(a•2x-
4
3
a)的定義域?yàn)椋?span id="njdlycu" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">log2
4
3
，+∞）
即滿(mǎn)足2x＞
4
3

函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程log2（4x+1）-x=log2(a•2x-
4
3
a)在（log2
4
3
，+∞）有且只有一解
即：方程
4x+1
2x
=a•2x-
4
3
a在(log2
4
3
，+∞)上只有一解
令2x=t，則t＞
4
3
，因而等價(jià)于關(guān)于t的方程(a-1)t2-
4
3
at-1=0（*）在(
4
3
，+∞)上只有一解
當(dāng)a=1時(shí)，解得t=-
3
4
∉(
4
3
，+∞)，不合題意；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，記h(t)=(a-1)t2-
4
3
at-1，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸t=
2a
3(a-1)
＜0
∴函數(shù)h(t)=(a-1)t2-
4
3
at-1在（0，+∞）上遞減，而h（0）=-1
∴方程（*）在(
4
3
，+∞)無(wú)解
當(dāng)a＞1時(shí)，記h(t)=(a-1)t2-
4
3
at-1，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸t=
2a
3(a-1)
＞0
所以，只需h(
4
3
)＜0，即
16
9
(a-1)-
16
9
a-1＜0，此恒成立
∴此時(shí)a的范圍為a＞1
綜上所述，所求a的取值范圍為a＞1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，偶函數(shù)，其中根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線(xiàn)l：y=kx-2與曲線(xiàn)y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線(xiàn)l∥AB，則稱(chēng)直線(xiàn)AB存在“伴侶切線(xiàn)”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱(chēng)直線(xiàn)AB存在“中值伴侶切線(xiàn)”．試問(wèn)：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線(xiàn)AB是否存在“中值伴侶切線(xiàn)”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，-1），并且與曲線(xiàn)y=f（x）相切，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線(xiàn)C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l，使得l為曲線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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