Question

10．函敦y=f（x）=sin2x+$\sqrt{2}acos$（x+$\frac{π}{4}$）（x∈R），令t=sinx-cosx．
（1）把函數(shù)f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)g（t），求g（t）表達(dá)式和定義域；
（2）求y=f（x）的最大值h（a）；
（3）解方程h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$）．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，兩角和的余弦公式，可得g（t）=t²-1+at，進(jìn)而由sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）得t的取值范圍，及函數(shù)的定義域；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論可得y=f（x）的最大值h（a）；
（3）分類(lèi)求解方程h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$），最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）y=f（x）=sin2x+$\sqrt{2}acos$（x+$\frac{π}{4}$）=2sinxcosx+a（cosx-sinx）=（cosx-sinx）²-1+a（cosx-sinx），
當(dāng)t=sinx-cosx時(shí)，y=t²-1+at，
即g（t）=t²-1+at，
由sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）得：t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（2）由（1）得：y=t²-1+at，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)t=-$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值，此時(shí)h（a）=1-$\sqrt{2}$a；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值，此時(shí)h（a）=1+$\sqrt{2}$a；
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-\sqrt{2}a，a≤0\\ 1+\sqrt{2}a，a＞0\end{array}\right.$，
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，$\frac{a}{a-3}$≥0，此時(shí)h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$）可化為：1-$\sqrt{2}$a=1+$\sqrt{2}$（$\frac{a}{a-3}$），解得：a=0，或a=2（舍去）；
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，$\frac{a}{a-3}$＜0，此時(shí)h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$）可化為：1+$\sqrt{2}$a=1-$\sqrt{2}$（$\frac{a}{a-3}$），解得：a=0（舍去），或a=2（舍去）；
當(dāng)a＞3時(shí)，$\frac{a}{a-3}$＞0，此時(shí)h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$）可化為：1+$\sqrt{2}$a=1+$\sqrt{2}$（$\frac{a}{a-3}$），解得：a=0（舍去），或a=4；
綜上所述，原方程的解為a=0，或a=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．