函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值,其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)對函數(shù)進行求導(dǎo),由題意可得f′(2)=0,f′(1)=-3,代入可求出a、b的值;
(Ⅱ)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可得函數(shù)的極大值為f(0)=c,極小值為f(2)=c-4.
解答: 解:(Ⅰ)對函數(shù)求導(dǎo)可得f′(x)=3x2+6ax+3b,
因為函數(shù)f(x)在x=2取得極值,所以f′(2)=3•22+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0①
又因為圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行
所以f′(1)=3+6a+3b=-3
即2a+b+2=0②
聯(lián)立①②可得a=-1,b=0
(Ⅱ)f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)
當f′(x)>0時,x<0或x>2;當f′(x)<0時,0<x<2
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 (-∞,0)和(2,+∞);函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2)
因此求出函數(shù)的極大值為f(0)=c,極小值為f(2)=c-4.
點評:本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,求函數(shù)極值的步驟是:先求導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)等于0,求出方程的根,確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性,根據(jù)極值的定義,確定極值點和極值.
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OA
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OA
+
OB
OA
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