Question

3．已知函數(shù)f（x）=2alnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x，實(shí)數(shù)a≠0．
（1）若f（x）在區(qū)間（1，3）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）的圖象是否存在不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使f（x）在點(diǎn)M（x₀，f（x₀））處的切線l滿足l∥AB（其中x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）？若存在，求出A，B的坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得$\frac{2a}{x}$-ax+2≤0在（1，3）成立，即a（x-$\frac{2}{x}$）≥2，對(duì)a討論，a=0，a＜0，a＞0，運(yùn)用參數(shù)分離，求出單調(diào)性，解不等式即可得到所求a的范圍；
（2）假設(shè)存在不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使f（x）在點(diǎn)M（x₀，f（x₀））處的切線l滿足l∥AB．運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式和切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)整理，設(shè)t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，則t＞1，上式化為lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷不存在．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2alnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2a}{x}$-ax+2，
f（x）在區(qū)間（1，3）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
即為$\frac{2a}{x}$-ax+2≤0在（1，3）成立，即a（x-$\frac{2}{x}$）≥2，
若a=0，即有0≥2不成立；若a＞0，即有$\frac{2}{a}$≤x-$\frac{2}{x}$，
由x-$\frac{2}{x}$在（1，3）遞增，-1＜x-$\frac{2}{x}$＜$\frac{7}{3}$，可得$\frac{2}{a}$≤$\frac{7}{3}$，即a≥$\frac{6}{7}$；
若a＜0，即有$\frac{2}{a}$≥x-$\frac{2}{x}$，
由x-$\frac{2}{x}$在（1，3）遞增，-1＜x-$\frac{2}{x}$＜$\frac{7}{3}$，可得$\frac{2}{a}$≥-1，即a≥-2．
綜上可得a的范圍是[-2，0）∪[$\frac{6}{7}$，+∞）；
（2）假設(shè)存在不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
使f（x）在點(diǎn)M（x₀，f（x₀））處的切線l滿足l∥AB．
M（x₀，y₀）是曲線y=f（x）上的不同點(diǎn)，
且0＜x₁＜x₂，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
則直線AB的斜率：k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2aln{x}_{2}-\frac{1}{2}a{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{2}-（2aln{x}_{1}-\frac{1}{2}a{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{2a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a（x₂+x₁）+2，
曲線在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率：k=f′（x₀）=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{4a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$a（x₁+x₂）+2，
依題意：k_AB=k，即$\frac{2a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a（x₂+x₁）+2=$\frac{4a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$a（x₁+x₂）+2，
化簡(jiǎn)得$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
即ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
設(shè)t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，則t＞1，上式化為lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，①
由g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
t＞1時(shí)，g（t）＞g（1）=0，
則lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，即有方程①無(wú)解．
故f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
使f（x）在點(diǎn)M（x₀，f（x₀））處的切線l滿足l∥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式和切線的斜率，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．