Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x+

π

6

）-cos2x+m．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-3，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（I）先利用和差角公式及輔助角公式對函數(shù)進(jìn)行化簡可得，f（x）=sin（2x-

π

6

）+m-

1

2

，根據(jù)周期公式可求，
（II）由x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得-

2π

3

≤2x-

π

6

≤

π

3

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求-1≤sin(2x-

π

3

)≤

3

2

，求出函數(shù)的f（x）的最小值為m-

3

2

，根據(jù)已知可求m．

解答：解：（I）∵f（x）=2sinxcos(x+

π

6

)-cos2x+m=2sinx(

3

2

cosx-

1

2

sinx)-cos2x+m=

3

sinxcosx- sin2x-cos2x+m=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

-cos2x+m（3分）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

+m=sin（2x-

π

6

）+m-

1

2

．（5分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π（6分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]，有-

2π

3

≤2x-

π

6

≤

π

3

（8分）
∴-1≤sin(2x-

π

3

)≤

3

2

．（10分）
得到f（x）的最小值為m-

3

2

．（11分）
由已知，有m-

3

2

=-3則m=-

3

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的和差角公式及輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)的考查，關(guān)鍵是要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，靈活應(yīng)用．