Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為等邊三角形，D，E分別是BC，CA的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PBE⊥平面PAC；
（2）如何在BC上找一點(diǎn)F，使AD∥平面PEF并說(shuō)明理由；
（3）若PA=AB=2，對(duì)于（Ⅱ）中的點(diǎn)F，求三棱錐P-BEF的體積．

Answer 1

分析：（1）證明平面PBE內(nèi)的直線BE，垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、CA，即可證明平面PBE⊥平面PAC；
（2）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，證明AD平行平面PEF內(nèi)的直線EF，即可證明結(jié)論；
（3）PA=AB=2，利用VP-BEF=

1

3

PA•S△BEF求三棱錐P-BEF的體積．

解答：（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABC，BE?底面ABC，
∴PA⊥BE．（1分）
又∵△ABC是正三角形，且E為AC的中點(diǎn)，
∴BE⊥CA．（2分）
又PA∩CA=A，
∴BE⊥平面PAC．（4分）
∵BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAC．（6分）
（Ⅱ）解：取CD的中點(diǎn)F，連接EF，則F即為所求．（7分）
∵E，F(xiàn)分別為CA，CD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD．（8分）
又EF?平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF．（10分）
（Ⅲ）解，根據(jù)題意可得
VP-BEF=

1

3

PA•S△BEF=

1

3

•2•

1

2

•

3

2

•

3

2

=

3

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，棱錐的體積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．