Question

已知O為平面直角坐標系的原點，過點M（-2，0）的直線l與圓x²+y²=1交于P，Q兩點．
（Ⅰ）若

OP

•

OQ

=-

1

2

，求直線l的方程；
（Ⅱ）若△OMP與△OPQ的面積相等，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出，∠POQ=120°，得到O到直線l的距離等于

1

2

，根據(jù)點到直線的
距離公式求出直線l的斜率，從而得到直線l的方程．
（Ⅱ）因為△OMP與△OPQ的面積相等，可得

MQ

=2

MP

，再由P，Q兩點在圓上，可解得點P的坐標，
由兩點式求得直線l的斜率．

解答：解：（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，因為直線l過點M（-2，0），可設直線l：y=k（x+2）．
因為P、Q兩點在圓x²+y²=1上，所以，|

OP

|=|

OQ

|=1，
因為

OP

•

OQ

=-

1

2

，所以，

OP

•

OQ

=|

OP

|•|

OQ

|•cos∠POQ=-

1

2

所以，∠POQ=120°，所以，O到直線l的距離等于

1

2

． 所以，

|2k|

k2+1

=

1

2

，得k=±

15

15

，
所以直線l的方程為 x-

15

y + 2=0，或 x+

15

y+2=0．
（Ⅱ）因為△OMP與△OPQ的面積相等，所以，

MQ

=2

MP

，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），所以，

MQ

=(x2+2，y2)，

MP

=(x1+2，y1)．
所以，

x2+2=2(x1+2) y2=2y1

，即

x2=2(x1+1) y2=2y1

（*）；     因為，P，Q兩點在圓上，
所以，

x12+y12=1 x22+y22=1

把（*）代入，得

x12+y12=1 4(x1+1)2+4y12=1

，所以，

x1=- 7 8 y1=± 15 8

，
所以，直線l的斜率k=kMP=±

15

9

，即 k=±

15

9

．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，直線和圓相交的性質(zhì)，求出點P的坐標是解題的難點．