Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=

2an

1+an

（n=1，2，…）
（1）求證：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=

1

2

，寫出a₂、a₃、a₄、a₅的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式a_n；
（3）證明：存在不等于零的常數(shù)p，使{

an+P

an

}是等比數(shù)列，并求出公比q的值．

Answer 1

分析：（1）利用反證法，若a_n+1=a_n，即

2an

1+an

=a_n，解得 a_n=0或1，結(jié)論與題干條件矛盾，
（2）根據(jù)a_n+1=

2an

1+an

，a₁=

1

2

，求出a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

，a₅=

16

17

，觀察各項分子通項為2^n-1，分母通項為2^n-1+1，于是可以寫出通項公式a_n，
（3）因為

an+1+p

an+1

=

(2+p)an+p

2an

，又

an+1+p

an+1

=

an+p

an

-q，據(jù)此可以求出（2+p-2q）a_n=p（1-2p），故能求出q和p的值．

解答：解：（1）采用反證法．若a_n+1=a_n，即

2an

1+an

=a_n，解得 a_n=0或1，
從而a_n=a_n1=…a₂=a₁=0或1與題設(shè)a₁＞0，a₁≠1相矛盾，故a_n+1≠a_n成立．
（2）a₁=

1

2

，a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

，a₅=

16

17

，a_n=

2n-1

2n-1+1

．
（3）因為

an+1+p

an+1

=

(2+p)an+p

2an

，又

an+1+p

an+1

=

an+p

an

q，
所以（2+p-2q）a_n=p（1-2q），
因為上式是關(guān)于變量a_n的恒等式，故可解得q=

1

2

、p=-1．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推式和等差關(guān)系的確定等知識點，熟練掌握反證法和歸納法進行數(shù)學(xué)解題，本題難度一般．