Question

下列四個命題：
①若m∈（0，1]，則函數f（x）=m+

3

m

的最小值為2

3

②已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，則α∥β
③△ABC中，

AB

和

CA

的夾角等于180°-A
④若動點P到點F（1，0）的距離比到直線l：x=-2的距離小1，則動點P的軌跡方程為y²=4x．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①根據基本不等式求出函數的最小值，并求出此時m的值，由已知m的范圍即可判斷命題正確與否；
②若α⊥β，β⊥γ，平面α與β不一定平行，本命題錯誤；
③根據平面向量夾角的定義即可判斷命題正確與否；
④設出點P的坐標，根據題意列出等式，化簡后即可得到動點P的軌跡方程，作出判斷．

解答：解：①∵m＞0，∴m+

3

m

≥2

3

，當且僅當m=

3

m

，即m=

3

時取等號，
但是m∈（0，1]，故函數f（x）=m+

3

m

的最小值不為2

3

，本選項是假命題；
②平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，平面α與β不一定平行，本選項是假命題；
③把

CA

平移，使點C與A重合，得到

AB

和

CA

的夾角為A的補角，即180°-A，本選項為真命題；
④設動點P的坐標為（x，y），由動點P到點F（1，0）的距離比到直線l：x=-2的距離小1，
得：|PF|=|x+2|-1，即

(x-1)2+y2

=|x+2|-1，
當x≥-2時，兩邊平方得：y²=4x，即動點P的軌跡方程為y²=4x，本選項是真命題，
則正確命題的序號為：③④．
故答案為：③④

點評：此題考查了基本不等式，拋物線的定義以及兩平面間的位置關系．基本不等式a+b≥2

ab

中a與b都大于0，且當且僅當a=b時取等號，拋物線的定義為到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡，掌握這些知識是解本題的關鍵．