Question

6．已知f（x）=3^x+m•3^-x為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{8}{3}$的零點；
（2）若對任意t∈R的都有f（t²+a²-a）+f（1+2at）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（0）=0，求出m的值，從而求出f（x）的解析式，令g（x）=0，求出函數(shù)的零點即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為t²+2at+a²-a+1≥0對任意t∈R恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，
解得：m=-1，
∴f（x）=3^x-3^-x，令g（x）=0，即3^x-3^-x-$\frac{8}{3}$=0，
令t=3^x，則t-$\frac{1}{t}$-$\frac{8}{3}$=0，
即3t²-8t-3=0，解得：t=3或t=-$\frac{1}{3}$，
∵t=3^x≥0，∴t=3即x=1，
∴函數(shù)g（x）的零點是1；
（2）∵對任意t∈R的都有f（t²+a²-a）+f（1+2at）≥0恒成立，
∴f（t²+a²-a）≥-f（1+2at）對任意t∈R恒成立，
∵f（x）在R是奇函數(shù)也是增函數(shù)，
∴f（t²+a²-a）≥-f（-1-2at）對任意t∈R恒成立，
即t²+a²-a≥-1-2at對任意t∈R恒成立，
即t²+2at+a²-a+1≥0對任意t∈R恒成立，
∴△=（2a）²-4（a²-a+1）≤0，
∴a≤1，實數(shù)a的范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性問題，考查函數(shù)的零點問題以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．