Question

已知定點(diǎn)A（-l，0），動(dòng)點(diǎn)B是圓F：（x-1）²+y²=8（F為圓心）上一點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段BF于點(diǎn)P．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）是否存在過(guò)點(diǎn)E（0，2）的直線(xiàn)l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于點(diǎn)R、T，且滿(mǎn)足（O為原點(diǎn)），若存在，求直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的定義判斷點(diǎn)P的軌跡 是以A、F 為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程．
（II） 設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l：y=kx+2，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及 ，解方程求出斜率  k，從而求得直線(xiàn)l的方程．
解答：解：（I）由題意得 圓心F（1，0），半徑等于2，|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半徑2＞|AF|，故點(diǎn)P的軌跡是以A、F 為焦點(diǎn)的橢圓，
2a=2，c=1，∴b=1，∴橢圓的方程為 ．
（II） 設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l，則直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為 y=kx+2，設(shè) R （x₁，y₁ ），
T（x₂，y₂），∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0     ①．
把線(xiàn)l的方程 y=kx+2代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得 （2k²+1）x²+8kx+6=0，∴x₁+x₂=，
x₁x₂=，∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）+2k +4==0，
∴k=  或-．滿(mǎn)足△＞0，故存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l，其方程為 y=± x=2，
即  x-y+2=0，或  x+y-2=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用定義法求點(diǎn)的軌跡方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求直線(xiàn)l的斜率是解題
的難點(diǎn)．