Question

（本小題滿分14分）廣東某民營企業(yè)主要從事美國的某品牌運動鞋的加工生產，按國際慣例以美元為結算貨幣，依據以往加工生產的數據統(tǒng)計分析，若加工產品訂單的金額為萬美元，可獲得加工費近似為萬美元，受美聯(lián)儲貨幣政策的影響，美元貶值,由于生產加工簽約和成品交付要經歷一段時間，收益將因美元貶值而損失萬美元，其中為該時段美元的貶值指數，，從而實際所得的加工費為（萬美元）.
（Ⅰ）若某時期美元貶值指數，為確保企業(yè)實際所得加工費隨的增加而增加，該企業(yè)加工產品訂單的金額應在什么范圍內？
（Ⅱ）若該企業(yè)加工產品訂單的金額為萬美元時共需要的生產成本為萬美元，已知該企業(yè)加工生產能力為（其中為產品訂單的金額），試問美元的貶值指數在何范圍時，該企業(yè)加工生產將不會出現(xiàn)虧損.

Answer 1

（Ⅰ）加工產品訂單的金額，該企業(yè)實際所得加工費隨的增加而增加.
（Ⅱ）當美元的貶值指數時，該企業(yè)加工生產不會虧損.

試題分析：(I)當時，,然后求導根據導數大于零求得x的取值范圍.
(II)搞清本小題不會出現(xiàn)虧損，也就是當時，都有
,即恒成立,然后構造函數,利用導數研究它的最小值即可.
（Ⅰ）由已知得：，其中
所以，由，即，
解得
即加工產品訂單的金額，該企業(yè)實際所得加工費隨的增加而增加.
··································· 5分
（Ⅱ）依題設企業(yè)加工生產將不會出現(xiàn)虧損，則當時，都有
，······················· 7分
由得：
令，則
·········· 8分
令，則
········ 10分
可知在上單調遞減，從而，··· 11分
所以，可知在上單調遞減，因此，即   13分
故當美元的貶值指數時，該企業(yè)加工生產不會虧損. 14分
點評：本小題關鍵是理解實際問題當中的要求如何通過數學方法實現(xiàn)，如企業(yè)實際所得加工費隨的增加而增加本質就是求函數f(x)的單調增區(qū)間.企業(yè)加工生產將不會出現(xiàn)虧損本質就是當時，不等式恒成立問題.