Question

13．已知點(diǎn)A（0，1），直線l：y=kx-m與圓O：x²+y²=1交于B，C兩點(diǎn)，△ABC和△OBC的面積分別為S₁，S₂，若∠BAC=60°，且S₁=2S₂，則實(shí)數(shù)k的值為±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出圓心、點(diǎn)A到直線的距離分別為d，d′，利用∠BAC=60°，且S₁=2S₂，建立方程，即得所求．

解答 解：設(shè)圓心O、點(diǎn)A到直線的距離分別為d，d′，則d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d′=$\frac{|m+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
根據(jù)∠BAC=60°，可得BC對(duì)的圓心角∠BOC=120°，且BC=$\sqrt{3}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$•OB•OC•sin∠BOC=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②．
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$$\frac{|m+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴k=±$\sqrt{3}$，m=1
故答案為：±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．