[選做題]
A.(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,PA是⊙O的切線,PB交AC于點E,交⊙O于點D,若PE=PA,
∠ABC=60°,PD=1,BD=8,求BC的長.
B.(選修4-2:矩陣與變換)
二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(1,-1)與(-2,1)分別變換成點(-1,-1)與(0,-2).
(Ⅰ)求矩陣M的逆矩陣M-1;
(Ⅱ)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m:2x-y=4,求l的方程.
C.(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
在極坐標系中,設(shè)圓ρ=3上的點到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2
的距離為d,求d的最大值.
D.(選修4-5:不等式選講)
設(shè)a,b,c為正數(shù)且a+b+c=1,求證:(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2
100
3
分析:A.由切割線定理,得到PA2=PD•BD,從而有AE=PA=3,再用弦切角得到∠PAE=∠ABC=60°,可得△PAE是邊長為3的等邊三角形.然后在在△ADE中利用余弦定理,算出得AD=
7
,最后利用△AED∽△BEC,由對應(yīng)邊成比例得到BC=2AD=2
7

B.(I)設(shè)M=
a
c
,利用矩陣乘法的法則,結(jié)合題意列出關(guān)于a、b、c、d的方程組并解之,可得矩陣M,再用二階矩陣逆矩陣的公式,可算出矩陣M的逆矩陣M-1;
(II)設(shè)l上的點(x,y)被M變換為m上的點(x',y'),根據(jù)矩陣變換的公式找到用x、y表示x'、y'的式子,再將此對應(yīng)的點的坐標代入直線m方程,化簡整理即得直線l的方程.
C.圓ρ=3化成普通方程:x2+y2=9,直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2
的普通方程為x+
3
y-2=0
.設(shè)圓上的點A(3cosα,3sinα),利用點到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的最值,可算出圓上的點到直線距離的最大值.
D.將不等式左邊變形后,利用柯西不等式,再將a+b+c=1代入,將所得不等式再整理,即得要證明的不等式恒成立.
解答:A.解:∵PA是⊙O的切線,∴PA2=PD•BD,
∵PB=PD+BD=1+8=9,∴PA2=1×9=9,可得PA=3,AE=PA=3,
∵PA是⊙O的切線,∴∠PAE=∠ABC=60°,可得△PAE是邊長為3的等邊三角形
連接AD,在△ADE中,AE=3,DE=2,得AD=
AE2+DE2-2•AE•DEcos60°
=
7

又∵圓中△AED∽△BEC,
AD
BC
=
AE
BE
=
1
2
,可得BC=2AD=2
7

B.解:(Ⅰ)設(shè)M=
a
c
,則有
a
c
 
1
-1
=
-1
-1
,
a
c
-2
1
=
0
-2
,
所以
a-b=-1
c-d=-1
,且
-2a+b=0
-2c+d=-2
,解得
a=1
b=2
c=3
d=4

所以M=
1
3
,從而M-1=
-2
3
2

(Ⅱ)因為
x′
y′
=
1
3
,所以
x′=x+2y
y=3x+4y

∵l在變換M作用下得到了直線m:2x'-y'=4,
∴代入得:2(x+2y)-(3x+4y)=4,化簡得x+4=0,
∴直線l的方程方程為x+4=0
C.解:將極坐標方程ρ=3轉(zhuǎn)化為普通方程:x2+y2=9
直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2
可化為x+
3
y-2=0

在x2+y2=9上任取一點A(3cosα,3sinα),則
點A到直線的距離為d=
|3cosα+3
3
sinα-2|
2
=
|6sin(α+
π
6
 
)-2|
2
,
當(dāng)sin(α+
π
6
)=-1時,d的最大值為4.
D.證明:左邊=
1
3
(12+12+12)[(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2]

1
3
[1×(a+
1
a
)+1×(b+
1
b
)+1×(c+
1
c
)]2
=
1
3
[1+(
1
a
+
1
b
+
1
c
)]2=
1
3
[1+(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)]2

∵a+b+c=1,可得(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
 
≥(a•
1
a
+b•
1
b
+c•
1
c
)=9

∴原不等式的左邊
1
3
(1+9)2=
100
3
,即不等式(a+
1
a
)
2
+(b+
1
b
)
2
+(c+
1
c
)
2
100
3
成立.
點評:本題以平面幾何證明、矩陣及矩陣變換、參數(shù)方程與極坐標和不等式選講為載體,考查了同學(xué)們對數(shù)學(xué)選修知識的理解與掌握情況,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選做題
A.選修4-2矩陣與變換
已知矩陣A=
.
12
-14
.
,向量
a
=
.
7
4
.

(Ⅰ)求A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2;   (Ⅱ)計算A6α的值.
B.選修4-4坐標系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程為
x=4-2t
y=t-2
(t為參數(shù)),P是橢圓
x2
4
+y2=1
上任意一點,求點P到直線l的距離的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

附加題選做題B、(選修4-2:矩陣與變換)
已知在一個二階矩陣M對應(yīng)變換的作用下,點A(1,2)變成了點A′(7,10),點B(2,0)變成了點B′(2,4),求矩陣M的逆矩陣M-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•江蘇二模)選做題
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,自⊙O外一點P作⊙O的切線PC和割線PBA,點C為切點,割線PBA交⊙O于A,B兩點,點O在AB上.作CD⊥AB,垂足為點D.
求證:
PC
PA
=
BD
DC

B.選修4-2:矩陣與變換
設(shè)a,b∈R,若矩陣A=
a0
-1b
把直線l:y=2x-4變換為直線l′:y=x-12,求a,b的值.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
求橢圓C:
x2
16
+
y2
9
=1上的點P到直線l:3x+4y+18=0的距離的最小值.
D.選修4-5不等式選講
已知非負實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2+x+2y+3z=
13
4
,求x+y+z的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省揚州市江都中學(xué)高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

[選做題]
A.(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,PA是⊙O的切線,PB交AC于點E,交⊙O于點D,若PE=PA,
∠ABC=60°,PD=1,BD=8,求BC的長.
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二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(1,-1)與(-2,1)分別變換成點(-1,-1)與(0,-2).
(Ⅰ)求矩陣M的逆矩陣M-1
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C.(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
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D.(選修4-5:不等式選講)
設(shè)a,b,c為正數(shù)且a+b+c=1,求證:

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