已知橢圓C：(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)P(1，)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．

(1)求橢圓的方程；

(2)動(dòng)直線l：mx＋ny＋n＝0(m，n∈R)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T．若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，

　　∴∴

　　又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入可得，

　　∴，故所求橢圓方程為3分

　　(2)首先求出動(dòng)直線過(0，)點(diǎn)．5分

　　當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：

　　當(dāng)L與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：

　　由

　　即兩圓相切于點(diǎn)(0，1)，因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(0，1)．事實(shí)上，點(diǎn)T(0，1)就是所求的點(diǎn)．7分

　　證明如下：

　　當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(0，1)

　　若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：

　　由

　　記點(diǎn)、　9分

　　

　　

　　

　　

　　所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(0，1)

　　所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(0，1)滿足條件．12分

　　(注：其他解法相應(yīng)給分)


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已知橢圓C:=1(a＞b＞0),直線l1:=1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為3的直線l2被橢圓C截得的弦長(zhǎng)是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的，求橢圓C的方程.

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(1)求橢圓C的方程;

(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.

 

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(A) (B) (C) (D)

 

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（本題滿分14分）

已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點(diǎn)，試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

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(本小題滿分12分)

已知橢圓C:（a＞b＞0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的

距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;    

(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的

最大值.

 

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