Question

已知正數(shù)x、y滿足x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．
解：∵x+2y=1且x、y＞0，
∴

1

x

+

1

y

=(

1

x

+

1

y

)(x+2y)≥2

1 xy

•2

2xy

=4

2

，
∴(

1

x

+

1

y

)min=4

2

，
判斷以上解法是否正確？說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)給出正確解法．

Answer 1

分析：在題中所給的解法中，解答過(guò)程中兩次利用基本不等式，兩次的等號(hào)不能同時(shí)取得，結(jié)果取不到等號(hào)．由此得到正確的解法，已知條件是一個(gè)整式等式，求得式子是分式形式，將分式乘以整式再展開(kāi)，利用基本不等式求出最值，注意等號(hào)是否能取到．

解答：解：錯(cuò)誤．
∵

1

x

+

1

y

≥2

1 xy

；等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，又∵x+2y≥2

2xy

；等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)成立，而①②的等號(hào)同時(shí)成立是不可能的．
正確解法：因?yàn)閤＞0，y＞0，且x+2y=1，∴

1

x

+

1

y

=

x+2y

x

+

x+2y

y

=3+

2y

x

+

x

y

≥3+2

2y x • x y

=3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

2y

x

=

x

y

即x=

2

y，又x+2y=1，
∴這時(shí)

x= 2 -1 y= 2- 2 2

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要注意需要考慮的條件：一正；二定；三相等．