Question

一同學(xué)為研究函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

（0≤x≤1）的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD和BEFC點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x），則推知函數(shù)g（x）=5f（x）-11的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．4

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，可得f（x）的最小值為

5

＞

11

5

，由于函數(shù)g（x）=5f（x）-11的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程 f（x）=

11

5

的解的個(gè)數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答：解：由題意可得函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，
當(dāng)A、P、F共線(xiàn) 時(shí)，f（x）取得最小值為

5

＞

11

5

，當(dāng)P與B或C重合時(shí)，f（x）取得最大值為

2

+1＞

11

5

．
g（x）=5f（x）-11=0，即 f（x）=

11

5

．
由題意可得，函數(shù)g（x）=5f（x）-11的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程 f（x）=

11

5

的解的個(gè)數(shù)．
再由f（x）的最小值為

5

＞

11

5

，可得方程 f（x）=

11

5

無(wú)解，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．