設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
|x-1|
,x≠1
1,x=1
,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0,有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,則x1+x2+x3=( 。
A、0B、1C、3D、2
分析:作出f(x)的圖象,根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)得到函數(shù)關(guān)于直線x=1對(duì)稱.從而得出f2(x)+bf(x)+c=0必有一根使f(x)=1,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.
解答:解:作出函數(shù)的圖象如圖:精英家教網(wǎng)
易知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
設(shè)t=f(x),
則當(dāng)t=1時(shí),方程f(x)=t有3個(gè)根,
當(dāng)t>0且t≠1時(shí),方程f(x)=t有2個(gè)根,
當(dāng)t≤0時(shí),方程f(x)=t有0個(gè)根,
對(duì)于方程f2(x)+bf(x)+c=0,是一個(gè)關(guān)于f(x)的一元二次方程,
若方程f2(x)+bf(x)+c=0,有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3
則此一元二次方程僅有一根,即t=1,f(x)=1,
此時(shí)x1,x2,x3三個(gè)數(shù)中有一個(gè)是1,另兩個(gè)關(guān)于x=1對(duì)稱,此時(shí)有 x1+x2+x3=3,
故選:C.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.
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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
x-2
(x>2)
1
2-x
(x<2)
1(x=2)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則x12+x22+x32=
 

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2
2
;f(2011)=
3
2
3
2

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π
2
時(shí),(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數(shù)y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
6
6

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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+π)=f(x-π),f(
π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),當(dāng)x∈[-
π
2
,
π
2
]
時(shí),0<f(x)<1;當(dāng)x∈(-
π
2
,
π
2
)
且x≠0時(shí),x•f′(x)<0,則y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( 。

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πx
2
+m(其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),m是常數(shù)).記f(x)在區(qū)間[2013,2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n,則( 。
A、m=-
1
2
,n=6
B、m=1-e,n=5
C、m=-
1
2
,n=3
D、m=e-1,n=4

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