如圖，已知橢圓C的中心在原點，其一個焦點與拋物線的焦點相同，又橢圓C上有一點M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當MA、MB與x軸所構成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

【答案】分析：（1）拋物線的焦點，又橢圓C上有一點M（2，1），由此可求出橢圓方程．
（2）設直線在y軸上的截距為m，則直線，由直線l與橢圓C交于A、B兩點，可導出m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}，設MA、MB的斜率分別為K1，K2，K1+K2=0，然后結合題設條件和根與系數(shù)的關系知MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形，從而得到m的取值范圍．
解答：解：（1）拋物線的焦點，又橢圓C上有一點M（2，1）∴橢圓方程為，
（2），設直線在y軸上的截距為m，則直線
直線l與橢圓C交于A、B兩點，
∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}，設MA、MB的斜率分別為K1，K2，∴K1+K2=0，∵
=
=
故MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形．∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：
x24
+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點為F1（1，0）、F2（-1，0），離心率為
2
2
，過點A（2，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）①求直線l的斜率k的取值范圍；
②在直線l的斜率k不斷變化過程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否總相等？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇五校高三下學期期初教學質量調研數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點M、N.

（1）設直線AP、PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；

（2）求線段MN長的最小值；

（3）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省華南師大附中高三（下）5月月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省華南師大附中高三（下）5月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

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