設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).
(1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)k∈(
1
2
,1]時(shí),求函數(shù)f(x)在[0,k]的最大值M.
(3)當(dāng)k=0時(shí),又設(shè)函數(shù)g(x)=ln(1+
2
x-1
)-
2x2+x
2x+2
,求證:當(dāng)n≥2,且n∈N*時(shí),1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>g(n)+lnf(n).
分析:(1)當(dāng)k=1時(shí),令f′(x)=x(ex-2)=0,解得x=0,或x=ln2,分別討論區(qū)間(-∞,0)、(0,ln2)、(ln2,+∞)上導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),進(jìn)而可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′(x),令f′(x)=0得出極值點(diǎn),列出表格得出單調(diào)區(qū)間,比較區(qū)間端點(diǎn)與極值即可得到最大值.
(3)若證當(dāng)n≥2,且n∈N*時(shí),1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>g(n)+lnf(n),即證
1
n+1
+
1
n
>2ln
n+1
n
,令t=
1
n
,t∈(0,1),h(t)=1-
1
t+1
+t-2ln(t+1),利用導(dǎo)數(shù)法,證得h(t)>h(0)=0可得答案.
解答:解:∵f(x)=(x-1)ex-kx2
∴f′(x)=(x-1)ex+ex-2kx=x(ex-2k)
(1)當(dāng)k=1時(shí),令f′(x)=x(ex-2)=0,解得x=0,或x=ln2
當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)0<x<ln2時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x>ln2時(shí),f′(x)>0;
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)、(ln2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(0,ln2)
(2)∵f(x)=(x-1)ex-kx2,x∈[0,k],kk∈(
1
2
,1]
f'(x)=xex-2kx=x(ex-2k)
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(2k)
令φ(k)=k-ln(2k),kk∈(
1
2
,1]
φ′(k)=1-
1
k
=
k-1
k
≤0
所以φ(k)在(
1
2
,1]上是減函數(shù),
∴φ(1)≤φ(k)<φ(
1
2
),
∴1-ln2≤φ(k)<
1
2
<k.
即0<ln(2k)<k
所以f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x (0,ln(2k)) ln(2k) (ln(2k),k)
f'(x) - 0 +
f(x) 極小值
f(0)=-1,f(k)=(k-1)ek-k3f(k)-f(0)=(k-1)ek-k3+1=(k-1)ek-(k3-1)=(k-1)ek-(k-1)(k2+k+1)=(k-1)[ek-(k2+k+1)]
因?yàn)閗k∈(
1
2
,1],所以k-1≤0
對(duì)任意的kk∈(
1
2
,1],y=ex的圖象恒在y=k2+k+1下方,所以ek-(k2+k+1)≤0
所以f(k)-f(0)≥0,即f(k)≥f(0)
所以函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M=f(k)=(k-1)ek-k3
(3)當(dāng)k=0時(shí),f(x)=(x-1)ex,
∵g(x)=ln(1+
2
x-1
)-
2x2+x
2x+2
,
∴g(n)+lnf(n)=ln(n+1)+
n
2n+2

若證當(dāng)n≥2,且n∈N*時(shí),1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>g(n)+lnf(n).
即證1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln(n+1)+
n
2n+2
=ln(n+1)+
1
2
(1-
1
n+1
)=ln(
2
1
3
2
4
3
n+1
n
)+
1
2
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]
即證:
1
n
>ln
n+1
n
+
1
2
1
n
-
1
n+1

即證
1
n+1
+
1
n
>2ln
n+1
n

設(shè)t=
1
n
,t∈(0,1),令h(t)=1-
1
t+1
+t-2ln(t+1)
則h′(t)=
t2
(t+1)2

∵h(yuǎn)′(t)≥0恒成立
故h(t)在(0,1)上為增函數(shù)
故h(t)>h(0),
即1-
1
t+1
+t-2ln(t+1)>0
1
n+1
+
1
n
>2ln
n+1
n

即1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>g(n)+lnf(n)
點(diǎn)評(píng):熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值得方法是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個(gè)不同的根.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。

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設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(一)(解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-1)2,x>0.
(1)求f(x)的極值;
(2)設(shè)0<a≤1,記f(x)在(0,a]上的最大值為F(a),求函數(shù)的最小值;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=lnx-2x2+4x+t(t為常數(shù)),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè),求實(shí)數(shù)m和t的值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-1)2,x>0.
(1)求f(x)的極值;
(2)設(shè)0<a≤1,記f(x)在(0,a]上的最大值為F(a),求函數(shù)的最小值;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=lnx-2x2+4x+t(t為常數(shù)),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè),求實(shí)數(shù)m和t的值.

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