Question

已知數列{a_n}滿足關系式an+1=

n

an

+2，n∈N*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求證：

n

+1≤an＜

n+1

+1；
（Ⅲ）求證：

n+1

-1＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2(

n+3

-

3

)．

Answer 1

分析：（1）根據遞推公式，計算即可．
（2）是個與自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法．
（3）在（2）的基礎上，將

1

an

從分母有理化，放縮兩個角度適當變形，考慮正負相消，使兩端和式出現命題中的形式．

解答：解：（Ⅰ）由題意，知a2=

5

2

，a3=

14

5

，a4=

43

14

．…（3分）
（Ⅱ）由an+1=

n

an

+2，及a₁=2，知a_n＞0．
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，a₁=2滿足

1

+1≤a1＜

1+1

+1，成立．
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，

k

+1≤ak＜

k+1

+1成立，則
當n=k+1時，ak+1=

k

ak

+2＞

k

k+1 +1

+2=

k+1

+1.ak+1=

k

ak

+2≤

k

k +1

+2．
下面用分析法證明：

k

k +1

+2＜

k+2

+1．
只需證k+

k

+1＜(

k

+1)

k+2

，只需證k+

k

+1＜(

k

+1)

k+2

，
只需證(k+

k

+1)2＜[(

k

+1)

k+2

]2，只需證2

k

+1＞0，此式顯然成立．
所以

k

k +1

+2＜

k+2

+1成立．從而ak+1=

k

ak

+2＜

k

k +1

+2＜

k+2

+1．
由（1），（2）可知，對一切k∈N^*，

n

+1≤an＜

n+1

+1成立．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知

1

n+1 +1

＜

1

an

≤

1

n +1

，
而

1

n+1 +1

≥

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

1

n +1

=

2

( n +1)+(  n +1)

＜

2

n+3 + n+2

=2(

n+3

-

n+2

)

∴

n+1

-

n

＜

1

an

＜2(

n+3

-

n+2

)
∴(

2

-

1

)+(

3

-

2

)…+  (

n+1

-

n)

＜

1

a1

+

1

a2

+…＜2(

4

-

3

)+2(

5

-

4

) +… +2(

n+3

-

n+2

)
即

n+1

-1＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2(

n+3

-

3

)

點評：本題考查數列的遞推公式的直接應用，數學歸納法，及放縮法證明不等式．

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

無法再進一步計算整理，故考慮逐項轉化，達到目的為止．