Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]有最小值，記為g（a）．
（1）求g（a）的表達(dá)式；
（2）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行配方得f（x）=2x²-2ax+3=2（x-

a

2

）²+3-

a2

2

，再分類討論研究函數(shù)的最小值；
（2）由（1）的分段函數(shù)，分段求函數(shù)的最大值，再取它們的最大值，從而得解．

解答：解：（1）由題意，f（x）=2x²-2ax+3=2（x-

a

2

）²+3-

a2

2

當(dāng)

a

2

≤-1時(shí)，即a≤-2，最小值g（a）=f（-1）=2+2a+3=2a+5
當(dāng)-1＜

a

2

＜1時(shí)，即-2＜a＜2，最小值g（a）=3-

a2

2

當(dāng)

a

2

≥1時(shí)，即a≥2，最小值g（a）=f（1）=2-2a+3=5-2a
∴g(a)=

2a+5，a≤-2 3- a2 2 ，-2＜a＜2 5-2a，a≥2

（2）當(dāng)a≤-2時(shí)，g（a）=f（-1）=2+2a+3=2a+5最大值為1
當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，最小值g（a）=3-

a2

2

最大值為3
當(dāng)a≥2時(shí)，最小值g（a）=f（1）=2-2a+3=5-2a最大值為1 
故g（a）的最大值為3

點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為載體，考查二次函數(shù)的最小值，關(guān)鍵是利用配方法，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻摚?/div>