Question

已知函數(shù)f（x）=2aln（1+x）-x（a＞0）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和
fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的極值；
（II）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將欲證不等式進(jìn)行變形，即證
對(duì)函數(shù)f（x）令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上遞減，故f（x）＜f（0）=0，即可得ln（1+x）＜x，最后令，取n=1、2、3…、n，將所得的不等式累加即可得出要證的不等式成立．
解答：解：（I）定義域?yàn)椋?1，+∞）
令f'（x）＞0⇒-1＜x＜2a-1，令f'（x）＜0⇒x＞2a-1
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，2a-1）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2a-1，+∞）
f（x）的極大值為2aln2a-2a+1
（II）證：要證
即證
即證
即證
令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上遞減
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令
故
累加得，

故，得證
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與不等式兩方面的知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
（I）考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)；
（II）考查了運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，將（I）中的函數(shù)結(jié)論巧妙運(yùn)用到不等式當(dāng)中，從而達(dá)到證明的目的．