Question

已知函數(shù)， 

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（3）若，使成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是。

（2）的最小值為。

（3）。

【解析】

試題分析：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090512584573414217/SYS201309051259404728937400_DA.files/image009.png">，且   2分

（1）函數(shù)

當(dāng)且時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是  .5分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090512584573414217/SYS201309051259404728937400_DA.files/image017.png">在上為減函數(shù)，故在上恒成立

所以當(dāng)時(shí)，

又

故當(dāng)，即時(shí)，

所以于是，故的最小值為             .8分

（3）命題“若，使成立”等價(jià)于

“當(dāng)時(shí)，有”

由（2），當(dāng)時(shí)，，所以

問題等價(jià)于： “當(dāng)時(shí)，有”            9分

（i）當(dāng)時(shí)，由（2）在上為減函數(shù)

則，故

（ii）當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)

故的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090512584573414217/SYS201309051259404728937400_DA.files/image039.png">，即

由的單調(diào)性值域知

唯一，使，且滿足：

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以， 

所以，，與矛盾，不合題意

綜上，                                            12分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評：難題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，研究單調(diào)性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。本題的難點(diǎn)在于利用轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用。