Question

16．在銳角△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（A+C），$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，2cos$\frac{B}{2}$-1），且向量$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大��；
（2）如果b=1，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)求得tan2B的值，再根據(jù)△ABC為銳角三角形，B的值．
（2）若b=1，則由余弦定理、基本不等式求得 ac 的最大值，可得△ABC面積為$\frac{1}{2}$ac•sinB，求得它的最大值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（A+C），$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，2cos$\frac{B}{2}$-1），且向量$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴2sin（A+C）（2cos²$\frac{B}{2}$-1）-$\sqrt{3}$cos2B=0，即 2sinBcosB=$\sqrt{3}$cos2B，
∴tan2B=$\frac{sin2B}{cos2B}$=$\sqrt{3}$．
再根據(jù)△ABC為銳角三角形，可得0＜B＜$\frac{π}{2}$，∴2B=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{6}$．
（2）若b=1，則由余弦定理可得 b²=1=a²+c²-2ac•cosB≥2ac-$\sqrt{3}$ac，
解得 ac≤$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號(hào)，
故△ABC面積的最大值為$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$）•$\frac{1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，正弦定理和余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．