Question

已知P為曲線C上任一點(diǎn)，若P到點(diǎn)F（

1

2

，0）的距離與P到直線x=-

1

2

距離相等
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B，
（I）若|AB|=2

6

，求直線l的方程；
（II）試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E（a，0），使

EA

•

EB

恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義，即可求得曲線C的方程；
（2）（I）設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式，假設(shè)弦長，即可求得結(jié)論；
（II）假設(shè)存在定點(diǎn)E（a，0），求出數(shù)量積，利用數(shù)量積恒為定值，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵P到點(diǎn)F（

1

2

，0）的距離與P到直線x=-

1

2

距離相等
∴P的軌跡是以F（

1

2

，0）為焦點(diǎn)的拋物線，方程為y²=2x；
（2）（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為x=my+1代入拋物線方程可得y²-2my-2=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2
∴|AB|=

1+m2

×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+m2

×

4m2+8

=2

6

∴m⁴+3m²-4=0
∴m²=1，∴m=±1；
（II）假設(shè)存在定點(diǎn)E（a，0），∵

EA

•

EB

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=-2am²+（1-a）²-2恒為定值
∴a=0，定值為-1，此時E的坐標(biāo)為（0，0）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長的計算，考查數(shù)量積公式，屬于中檔題．