定義函數(shù)f(x)=
2cosx，(sinx＜cosx)
2sinx (sinx≥cosx)
，給出下列四個命題：①該函數(shù)的值域是[-2，2]；②該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；③當且僅當x=2kπ-
π
2
(k∈Z)時該函數(shù)取得最大值2；④當且僅當2kπ-π＜x＜2kπ-
π
2
(k∈Z)時，f（x）＜0．上述命題中，錯誤命題的個數(shù)是（　　）
分析：根據三角函數(shù)的圖象和性質，我們可以判斷出函數(shù)的f（x）的值域，進而判斷①的真假；判斷出函數(shù)的f（x）的周期，進而判斷②的真假；判斷出函數(shù)的f（x）的最大值及取最大值時自變量x的值，進而判斷出③的真假；求出函數(shù)的f（x）的值小于0時，自變量x的取值范圍，進而判斷出④的真假；最終得到答案．
解答：解：∵函數(shù)f(x)=
2cosx，(sinx＜cosx)
2sinx (sinx≥cosx)
，
由三角函數(shù)的圖象和性質可得：
函數(shù)f（x）的值域為[-
2
，2]，故①錯誤；
函數(shù)f（x）是以2π為最小正周期的周期函數(shù)，故②錯誤；
函數(shù)f（x）在x=2kπ或x=2kπ+
π
2
(k∈Z)時該函數(shù)取得最大值2，故③錯誤；
函數(shù)f（x）在2kπ-π＜x＜2kπ-
π
2
(k∈Z)時，f（x）＜0，故④正確
故選C
點評：本題考查的知識點分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法，函數(shù)的值域，函數(shù)的周期性，函數(shù)的最值，其中熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質，是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
OA
=(sin
x
3
，
3
cos
x
3
)，
OB
=(cos
x
3
，cos
x
3
)，其中x∈R，定義函數(shù)f(x)=
OA
•
OB

（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱中心的橫坐標
（2）若x∈(0，
π
3
]，求函數(shù)f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=2
-x2+x+2
，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
若對于函數(shù)f(x)=2
-x2+x+2
定義域內的任意 x，恒有fK（x）=f（x），則（　�。�
A、K的最大值為2
2
B、K的最小值為2
2
C、K的最大值為1
D、K的最小值為1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，0)，
b
=(x，1)，當x＞0時，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
|
a
|+|
b
|
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f-1（x）；
（2）數(shù)列{an}滿足：a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則：
①當a=1時，證明：an＞
1
2n
；
②對任意θ∈[0，2π]，當2asinθ-2a+Sn≠0時，
證明：
2asinθ+2a-Sn
2asinθ-2a+Sn
≥
4a-Sn
Sn
或
2asinθ+2a-Sn
2asinθ-2a+Sn
≤
Sn
4a-Sn
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設關于x的方程x2-mx-1=0 有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數(shù)f(x)=
2x-m
x2+1
．
（1）求αf（α）+βf（β） 的值；
（2）判斷f（x） 在區(qū)間（α，β） 上的單調性，并加以證明；
（3）若λ，μ 為正實數(shù)，求證：|f(
λα+μβ
λ+μ
)-f(
μα+λβ
λ+μ
)|＜|f(α)-f(β)|．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•東城區(qū)一模）已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間；
（3）畫出函數(shù)g(x)=f(x)，x∈[-
7π
12
，
5π
12
]的圖象，由圖象研究并寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案