Question

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-c．
（1）求c的值并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-c，分別求出a₁，a₂，a₃，由此利用等比中項(xiàng)能求出c和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由an=2n-1，知b_n=n•a_n=n•2^n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-c，
∴a₁=S₁=2-c，
a₂=S₂-S₁=（4-c）-（2-c）=2，
a₃=S₃-S₂=（8-c）-（4-c）=4，
∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴a22=a1•a3，即2²=（2-c）×4，
解得c=1．
∵q=

a3

a2

=

4

2

=2．a(chǎn)₁=2-1=1，
∴a_n=2^n-1．
（2）∵an=2n-1，
∴b_n=n•a_n=n•2^n-1，
∴T_n=1+2•2+3•2ⁿ+…+n•2^n-1，①
∴2T_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．