Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且$\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{3}{{{a_{n+1}}+1}}，{a_2}=5$，則S_n=3ⁿ-n-1．

Answer 1

分析 $\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{3}{{{a_{n+1}}+1}}，{a_2}=5$，可得：$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=3，a₁=1．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{3}{{{a_{n+1}}+1}}，{a_2}=5$，
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=3，a₁=1．
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為2．
∴a_n+1=2×3^n-1，即a_n=2×3^n-1-1，
∴S_n=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n=3ⁿ-n-1．
故答案為：3ⁿ-n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．