Question

16．已知$β∈（{\frac{3π}{2}，2π}）$，滿足tan（α+β）-2tanβ=0，則tanα的最小值是$-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用兩角和的正切公式，化為關(guān)于tanβ的一元二次方程，利用判別式求出tanα的最小值．

解答 解：∵tan（α+β）-2tanβ=0，
∴tan（α+β）=2tanβ，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanβ，
∴2tanαtan²β-tanβ+tanα=0，①
∴α，β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∴方程①有兩負(fù)根，tanα＜0，
∴△=1-8tan²α≥0，
∴tan²α≤$\frac{1}{8}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanα＜0；
即tanα的最小值是-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正切公式，也考查了一元二次方程與根與系數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．