Question

已知定點(diǎn)A(0，

3

)，點(diǎn)B在圓F：x2+(y-

3

)2=16上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為圓心，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）若曲線Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

被軌跡E包圍著，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）已知Q（2，0），求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根據(jù)橢圓的定義可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)（有界性），可求得實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）表示出|PQ|，利用配方法可求|PQ|的最大值．

解答：解：（1）由題意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P點(diǎn)軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓．
其中c=

3

，a=2，∴b=1，∴橢圓方程為x2+

y2

4

=1；
（2）曲線Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

化為（x-a）²+y²=

1

4

，
則曲線Q是圓心在（a，0），半徑為

1

2

的圓．
設(shè)M（x，y）是此曲線上任意一點(diǎn)，則

- 1 2 ≤y≤ 1 2 a- 1 2 ≤x≤a+ 1 2

∵曲線Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

被軌跡E包圍著，
∴-1≤a-

1

2

≤a+

1

2

≤1
∴-

1

2

≤a≤

1

2

，∴實(shí)數(shù)a的最小值是-

1

2

；
（3）設(shè)P（x，y），則有y²=4（1-x²），x∈[-1，1]
∴|PQ|²=（x-2）²+y²=-3x2-4x+8=-3(x+

2

3

)2+

28

3

，
∴x=-

2

3

時(shí)，|PQ|²_max=

28

3

，∴|PQ|_max=

2 21

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)圓位置關(guān)系，考查配方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．