Question

如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，底面ABCD是矩形，頂點(diǎn)D₁在底面ABCD上的射影O恰好是CD的中點(diǎn)．
（I）求證：BO⊥AD₁；
（II）若二面角D₁-AB-D的大小為60°，求AD₁與底面ABCD所成的角．

Answer 1

分析：（I）由頂點(diǎn)D₁在底面ABCD上的射影O是CD的中點(diǎn)，我們根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，易得OD₁⊥OB，又根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得OB⊥OA，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得到BO⊥平面D₁AO，從而BO⊥AD₁；
（II）由（I）知D₁O⊥底面ABCD，連接AO，則∠D₁AO為AD₁與底面ABCD所成的角，過O作OH⊥AB，連接D₁H，則D₁H⊥AB，則∠D₁HO=60°，在直角△D₁HO中，利用tan∠D1AO=

D1O

AO

，可求AD₁與底面ABCD所成的角．

解答：證明：（I））∵D₁在平面ABCD上的射影為O，
∴OD₁⊥平面ABCD，
∴OD₁⊥OB
∵點(diǎn)O為DC的中點(diǎn)，DC=2，
∴OC=1，
又∵BC=1，∠DCB=90°，
∴OB⊥OA
∵D₁O∩AO=O，
∴OB⊥平面D₁AO
∵AD₁?平面D₁AO
∴BO⊥AD₁；
（II）由（I）知D₁O⊥底面ABCD，連接AO，則∠D₁AO為AD₁與底面ABCD所成的角
過O作OH⊥AB，連接D₁H，則D₁H⊥AB
∴∠D₁HO為二面角D₁-AB-D的平面角，即∠D₁HO=60°
因?yàn)榈酌媸蔷匦�，O是CD的中點(diǎn)
所以O(shè)H=AD=1
在直角△D₁OH中，DO=OH•tan∠D1HO=

3

在直角△AOH中，AO=

OH2+AH2

=

2

故在直角△D₁HO中，tan∠D1AO=

D1O

AO

=

6

2

∴AD₁與底面ABCD所成的角為arctan

6

2

點(diǎn)評(píng)：本題以平行六面體為載體，考查線面垂直，考查線線垂直，同時(shí)考查線面角，線線角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面垂直的判定與性質(zhì)，正確作出面面角，線面角．