Question

已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若上存在最大值和最小值，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)

的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是

當(dāng)時(shí)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是

（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）首先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)參數(shù)取值的不確定性，對(duì)其進(jìn)行分類討論求解，分類討論不要出現(xiàn)遺漏，不要出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，求單調(diào)性列表；（3）解決類似的問(wèn)題時(shí)，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得.

試題解析：（1）【解析】
當(dāng)時(shí)，，. 2分

由， 得曲線在原點(diǎn)處的切線方程是 3分

（2）【解析】
. 4分

①當(dāng)時(shí)，．

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 5分

當(dāng)，．

②當(dāng)時(shí)，令，得，，與的情況如下：

	↘		↗		↘

 

故的單調(diào)減區(qū)間是，；單調(diào)增區(qū)間是. 7分

③當(dāng)時(shí)，與的情況如下：

	↗		↘		↗

 

所以的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是 9分

（3）【解析】
由（2）得， 時(shí)不合題意. 10分

當(dāng)時(shí)，由（2）得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在上存在最大值．

設(shè)為的零點(diǎn)，易知，且．從而時(shí)，；時(shí)，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是． 12分

當(dāng)時(shí)，由（2）得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在上存在最小值．

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．

綜上，的取值范圍是. 14分

考點(diǎn)：1、求曲線的切線方程；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.