Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2）^{2}，x≥0}\\{x+\frac{4}{x}+4，x＜0}\\{\;}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f（x）-$\frac{3}{4}$（x+1）的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 求導(dǎo)分析分段函數(shù)在x≥0時的單調(diào)性，然后作出函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{3}{4}$（x+1）的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：當x≥0時，f（x）=x（x-2）²=x³-4x²+4x，f′（x）=3x²-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴當x∈[$0，\frac{2}{3}$）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（$\frac{2}{3}，2$）時，f′（x）＜0，
∴f（x）=x（x-2）²在[$0，\frac{2}{3}$），（2，+∞）上為增函數(shù)，在（$\frac{2}{3}，2$）上為減函數(shù)，
而f（0）=0，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{32}{27}$，f（2）=0，當x→+∞時，f（x）→+∞；
函數(shù)y=f（x）-$\frac{3}{4}$（x+1）的零點，就是方程f（x）-$\frac{3}{4}$（x+1）=0的根，也就是兩個函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{3}{4}$（x+1）的圖象交點的橫坐標．
作出兩個函數(shù)的圖象如圖，

由圖可知，函數(shù)y=f（x）-$\frac{3}{4}$（x+1）的零點個數(shù)為3個．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)零點判定定理，考查了利用導(dǎo)數(shù)一句話是的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．