已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)于任意的n∈N*,恒有Sn=2an-n,設(shè)bn=log2(an+1).
(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式an和bn;
(3)若cn=
2bn
anan+1
,證明:c1+c2+…+cn
4
3
分析:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1;當(dāng)n≥2時(shí),利用an=Sn-Sn-1可得an+1=2(an-1+1)即可證明{an+1}是等比數(shù)列.
(2)由(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知即可得出;
(3)證法一:利用cn=
2n
anan+1
,由于{an}為正項(xiàng)數(shù)列,可得以{cn}也為正項(xiàng)數(shù)列,從而
cn+1
cn
1
2
,可得數(shù)列{cn}遞減.通過(guò)放縮法,再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出;
證法二:由于cn=
2n
(2n-1)(2n+1-1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1-1
,利用“裂項(xiàng)求和”和放縮法即可得出.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1-1得a1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1),
兩式相減得:an=2an-2an-1-1,
∴an=2an-1+1,
∴an+1=2(an-1+1)
∴{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.     
(2)由(1)得an+1=2•2n-1=2n,
an=2n-1,n∈N*
bn=log2(an+1)=log22n=n,n∈N*
(3)證法一:cn=
2n
anan+1
,cn+1=
2n+1
an+1an+2

由{an}為正項(xiàng)數(shù)列,所以{cn}也為正項(xiàng)數(shù)列,
從而
cn+1
cn
=
2an
an+2
=
2(2n-1)
2n+2-1
2(2n-1)
2n+2-4
=
1
2
,
∴數(shù)列{cn}遞減.
c1+c2+…+cnc1+
1
2
c1+(
1
2
)2c1+…+(
1
2
)n-1c1
=
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
c1
4
3

證法二:由cn=
2n
(2n-1)(2n+1-1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1-1

c1+c2+…+cn=(
1
21-1
-
1
22-1
)+(
1
22-1
-
1
23-1
)+…
1
2n-1
-
1
2n+1-1
=1-
1
2n+1-1
<1<
4
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用“當(dāng)n=1時(shí),a1=S1;當(dāng)n≥2時(shí),利用an=Sn-Sn-1”求an、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”和放縮法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
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