Question

若數列{a_n}的前n項和S_n是（1+x）ⁿ二項展開式中各項系數的和（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且c_n=，求數列{c_n}的通項及其前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意S_n=2ⁿ，由項與前n項和的關系a_n=得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由b_n+1=b_n+（2n-1）得b_n+1-b_n=2n-1，令n=1、2、3、…n-1得n-1個式子，以上各式相加得b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3），可求b_n=n²-2n，進而求c_n，由錯位相減法得數列{c_n}的通項及其前n項和T_n．
解答：解：（Ⅰ）由題意S_n=2ⁿ，S_n-1=2^n-1（n≥2），
兩式相減得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．
當n=1時，a₁=S₁=2，
∴a_n=．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b_n-b_n-1=2n-3
b_n-1-b_n-2=2n-5
…
b₄-b₃=5
b₃-b₂=3
b₂-b₁=1，
以上各式相加得b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）
==（n-1）²
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．
∴．
∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ．
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ
=
=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ．
∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．
點評：應用項與前n項和之間的關系時，注意n=1的時候；求通項公式，若兩項之差為n的一次式，可用累加法；用錯位相減法求數列的前n項和，用時要觀察項的特征，是否是等差數列的項與等比數列的項的乘積．