Question

已知拋物線y=x²，動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標(biāo)的最小值。

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)拋物線y=x2的弦AB的端點A（x1,y1）、B(x2,y2)，中點M（x,y），拋物線y=x2的焦點F（0，），準(zhǔn)線y=－。設(shè)A、B、M到準(zhǔn)線距離分別為AD、BC、MN ∴2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y+ 根據(jù)拋物線定義，有 |AD|=|AF|,|BC|=|BF| ∴2（y+)=|AF|+|BF| ∵在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=2 ∴2(y+)≥2 ∴y≥ 即M點縱坐標(biāo)的最小值為。 解法二：設(shè)拋物線y=x2上點A（a,a2)、B(b,b2),AB中點M（x,y) ∴x= ∵|AB|=2 ∴(a－b)2+(a2－b2)2=4 則(a+b)2－4ab+(a2+b2)2－4a2b2=4 由2x=a+b,2y =a2+b2,得ab=2x2－y ∴4x2－4(2x2－y)+4y2－4(2x2－y)2=4 整理得 y=x2+ ∴y=(4x2+1)+－ ≥2－ =1－= 當(dāng)且僅當(dāng)(4x2+1)= 即x=±時等號成立。 ∴AB中點縱坐標(biāo)的最小值為。