Question

（2013•黑龍江二模）已知函數(shù)f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A．（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
• B．f（

  x1+x2

  2

  ）＜f（

  f(x1)+f(x2)

  2

  ）
• C．x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）
• D．x₂f（x₂）＞x₁f（x₁）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得A不正確；根據(jù)函數(shù)的圖象是下凹的，可得B不正確； 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，故有

f(x2)

x2

＞

f(x1)

x1

，
化簡(jiǎn)可得 x₁f（x₂）＞x₂f（x₁），故C正確、且D不正確．

解答：解：由于已知函數(shù)f（x）=lnx在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂ ，可得[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
故（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，故A不正確．
由于已知函數(shù)f（x）=lnx的增長(zhǎng)速度較慢，圖象是下凹型的，故有f（

x1+x2

2

）＞f（

f(x1)+f(x2)

2

），故B不正確．
∵已知函數(shù)f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂ ，則 [

f(x)

x

]′=

f′(x)x-f(x)

x2

=

1-lnx

x2

＞0，
∴函數(shù)

f(x)

x

 在（0，+∞）上是增函數(shù)，故有

f(x2)

x2

＞

f(x1)

x1

，化簡(jiǎn)可得 x₁f（x₂）＞x₂f（x₁），故C正確、且D不正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．