Question

已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓，它的離心率為，一個焦點和拋物線的焦點重合,過直線上一點引橢圓的兩條切線，切點分別是.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點；并出求定點的坐標(biāo).
（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得恒成立？(點為直線恒過的定點)若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（I）；（II）直線AB恒過定點。
（III）存在實數(shù)，使得。

試題分析：（I）設(shè)橢圓方程為。拋物線的焦點是，故，又，所以，
所以所求的橢圓方程為            3分
（II）設(shè)切點坐標(biāo)為,,直線上一點M的坐標(biāo)。
則切線方程分別為，。
又兩切線均過點M，即，即點A,B的坐標(biāo)都適合方程，
而兩點之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，
顯然對任意實數(shù)t，點（1,0）都適合這個方程，故直線AB恒過定點。  6分
（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得
，即
所以       ..8分
不妨設(shè)
，同理  10分
所以

即。
故存在實數(shù)，使得。           12分
點評：難題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)。對于存在性問題，往往先假設(shè)存在，利用已知條件加以探究，以明確計算的合理性。本題（III）通過假設(shè)，利用韋達定理進一步確定相等長度，求得了的值，達到證明目的。