Question

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．
（1）若∥，求sinx•cosx的值；
（2）若f（x）=，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的值域．

Answer 1

解：（1）∵向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．
∴由∥，可得sinxcosx=2cos²x，
兩邊都除以cos²x，得tanx=2．
∴sinx•cosx===．…（6分）
（2）由題意，得
f（x）==sinxcosx+cos²x=sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+．
∵0≤x≤，∴≤2x+≤．
∴≤sin（2x+）≤1．
可得1≤f（x）≤，故函數(shù)f（x）的值域為[1，]．…（12分）
分析：（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示式，建立關(guān)于x的等式，化簡整理可得tanx=2．由此結(jié)合三角函數(shù)“弦化切”，即可算出sinx•cosx的值；
（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，結(jié)合三角恒等變換化簡整理，可得f（x）=sin（2x+）+．結(jié)合x∈[0，]和正弦函數(shù)的圖象，即可得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的值域．
點評：本題給出向量含有三角函數(shù)的坐標(biāo)形式，討論了向量平行并求三角函數(shù)的值域，著重考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．