Question

函數(shù)f（x）=x²-4x-4在閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）上的最小值記為g（t），
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求g（1）的值；
（2）求g（t）的解析式，并求g（t）最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：分類討論

分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，[t，t+1]=[1，2]，利用圖象可判斷f（x）=x²-4x-4單調(diào)性并求出最小值．
（2）按照對(duì)稱軸在的位置分三種情況進(jìn)行討論，寫成分段函數(shù)，最值求解按照分段函數(shù)分段求解的思路求解．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²-4x-4圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x=2，
（1）當(dāng)t=1時(shí)，區(qū)間[t，t+1]為[1，2]，
函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞減，最小值g（1）=f（2）=-8．
（2）當(dāng)t+1≤2即t≤1時(shí)，函數(shù)在[t，t+1]單調(diào)遞減，g（t）=f（t+1）=（t+1）²-4（t+1）-4=t²-2t-7；
當(dāng)t＜2≤t+1即1＜t＜2時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸x=2處取得最小值，g（t）=f（2）=-8，
當(dāng)t≥2時(shí)，函數(shù)在[t，t+1]單調(diào)遞增，g（t）=f（t）=t²-4t-4，
綜上g（t）的解析式為
g（t）=t

t2-2t-7   ，t≤1 -8           ，1＜t＜2 t2-2t-4，  t≥2

當(dāng)t≤1時(shí)，g（t）=t²-2t-7，為二次函數(shù)，圖象開口向上，在t=-

-2

2×1

=1時(shí)取得最小值g（1）=-8
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，g（t）=-8，
當(dāng)t≥2時(shí)，g（t）=t²-2t-4，為二次函數(shù)，圖象開口向上，對(duì)稱軸直線為t=-

-2

2×1

=1，函數(shù)單調(diào)遞增，t=2時(shí)取得最小值g（2）=-4
綜上可述，t∈R時(shí)，g（t）最小值為-8

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的含參討論問題，基本上分為三種情況進(jìn)行討論，最后寫成分段函數(shù)．